نمودارهای کنترل شوارت برای پراکندگی برای تخمین پارامتر تنظیم شده است

نمایش فرمول:؟فرمول های ریاضی به عنوان MATHML رمزگذاری شده اند و در این نسخه HTML با استفاده از MathJax به منظور بهبود نمایشگر خود نمایش داده می شوند. جعبه را برای خاموش کردن MathJax از آن جدا کنید. این ویژگی به JavaScript نیاز دارد. برای بزرگنمایی روی فرمول کلیک کنید.

چندین مطالعه اخیر نشان داده اند که تعداد نمونه های فاز I مورد نیاز برای یک نمودار کنترل فاز II با پارامترهای تخمین زده شده برای انجام صحیح ممکن است بسیار زیاد باشد. به دنبال یک جایگزین عملی تر ، تنظیم محدودیت های کنترل در ادبیات در نظر گرفته شده است. ما این مشکل را برای نمودارهای کلاسیک Shewart برای پراکندگی فرآیند تحت عادی بودن در نظر می گیریم و یک روش تحلیلی برای تعیین محدودیت های کنترل تنظیم شده ارائه می دهیم. علاوه بر این ، ما عملکرد نمودار حاصل را در افزایش سیگنالینگ در پراکندگی فرآیند بررسی می کنیم. تنظیم پیشنهادی تضمین می کند که حداقل عملکرد در کنترل نمودار کنترل با یک احتمال مشخص تضمین شده است. این عملکرد از نظر میزان زنگ هشدار کاذب یا به طور معادل آن ، میانگین طول عملکرد در کنترل نشان داده شده است. ما همچنین در مورد تجارت بین عملکرد در کنترل و خارج از کنترل بحث می کنیم. از آنجا که تنظیم ما بر اساس مشتقات تحلیلی دقیق است ، روش bootstrap اخیراً پیشنهاد شده دیگر لازم نیست. یک مثال واقعی برای نشان دادن روش پیشنهادی ارائه شده است.

1. معرفی

محدوده نمودار کنترل به مقدار (های) کنترل پارامتر (های) فرآیند بستگی دارد. در شرایط معمولی تر که این مقادیر پارامتر ناشناخته است ، تخمین ها از نمونه مرحله کنترل I به دست می آیند و در جای آنها استفاده می شوند. با این حال ، از آنجا که نمونه های فاز I در بین پزشکان متفاوت است ، محدودیت های کنترل تخمین زده شده نیز متفاوت است. این تنوع به عنوان تنوع پزشک به تمرین کننده گفته می شود. به عنوان یک نتیجه ، عملکرد نمودار در بین پزشکان متفاوت است ، حتی اگر همان اندازه گیری عملکرد در کنترل اسمی ، مانند مقدار میانگین عملکرد در کنترل (ARL) در ساخت نمودارها استفاده شود. تغییر و تخریب در عملکرد نمودار به عنوان نتیجه تخمین پارامتر توسط چندین محقق برجسته شده است. تا همین اواخر ، عملکرد یک نمودار کنترل به طور کلی از نظر توزیع طول اجرا بدون قید و شرط (RL) و ویژگی های مرتبط با آن ، مانند ARL بدون قید و شرط یا نرخ زنگ خطر بی قید و شرط (FAR) اندازه گیری می شد. برای بررسی کارهایی که تا سال 2006 انجام شده است ، به جنسن و همکاران مراجعه کنید.(2006) ، و برای تحولات جدیدتر به Psarakis و همکاران مراجعه کنید.(2014). یکی از راه های بهبود عملکرد نمودار کنترل فاز II افزایش مقدار داده های فاز I است. به عنوان مثال ، در زمینه انحراف استاندارد ، تحقیقات اولیه (چن ، 1998)) استفاده از حدود 75 زیر گروه از اندازه 5 در فاز I را برای نمودارهای شوارت توصیه می کند ، در حالی که Maravelakis و همکاران.(2002) با استفاده از 100 زیر گروه با اندازه بیشتر از 20 یا 200 زیر گروه با اندازه کوچکتر توصیه می شود. با این حال ، این نتایج مبتنی بر اقدامات عملکردی بی قید و شرط بوده و تنوع پزشک متخصص را در نظر نمی گیرد ، زیرا فرمول بی قید و شرط به طور متوسط چنین اثرات را نشان می دهد.

با انگیزه این مشاهدات ، تحقیقات اخیر از استفاده از توزیع RL مشروط در ساخت و اجرای نمودارهای کنترل حمایت کرده است. از این منظر ، Chakraborti (2006) و صالح ، محمود ، کیف و وودال (2015) برای مورد نمودار ، و اپپرشت و همکاران.(2015) ، برای مورد نمودار S (جایی که S انحراف استاندارد نمونه است) ، اثرات تخمین پارامتر را بر توزیع RL مشروط در کنترل ارزیابی کرد. از آنجا که توزیع RL شرطی هندسی است ، می توان آن را با احتمال موفقیت ، به اصطلاح میزان زنگ هشدار کاذب مشروط (CFAR) یا متقابل آن ، طول میانگین عملکرد مشروط در کنترل (CARL) مشخص کرد. از آنجا که CFAR (CARL) یک متغیر تصادفی است ، Epprecht و همکاران.(2015) یک فرمول پیش بینی محدود برای تعیین تعداد زیر گروه های فاز I مورد نیاز به گونه ای که حداقل عملکرد کنترل بر اساس CFAR یا CARL از نمودار یک طرفه S با احتمال از پیش تعیین شده تضمین شده است. با این حال ، مشاهده شد که بر اساس این رویکرد ، تعداد زیر گروه های مورد نیاز برای تضمین عملکرد نمودار کنترل در کنترل در کنترل ، بسته به انتخاب برآوردگرها ، به ترتیب چند صدها یا هزار نفر است. این اعداد به طور قابل ملاحظه ای بالاتر از مقادیر توصیه شده توسط نویسندگان قبلی بر اساس ARL بدون قید و شرط ARL هستند. صالح ، محمود ، کیف و وودال (2015) با توجه به نمودارهای و X به نتیجه گیری های مشابهی رسیدند.

این یک معضل برای پزشک است. کار با توزیع مشروط RL و ویژگی های مختلف آن (مانند CFAR یا کارل) از دیدگاه یک پزشک معقول تر است. با این حال ، مقدار داده های فاز I مورد نیاز اغلب بسیار زیاد است ، تا جایی که تقریباً غیر عملی باشد. بنابراین ، از دیدگاه عملی ، رویکرد دیگری لازم است. یکی از این پیشنهادات اخیر تنظیم محدودیت های کنترل برای تضمین حداقل عملکرد نمودار در کنترل بر اساس CFAR (یا کارل ؛ به عنوان مثال ، آلبرز و کالنبرگ (2004) ، گندی و کوولا (2013) و گودارت و همکاران.(2017)) با یک احتمال خاص. این ایده ای است که در این مقاله دنبال می شود. توجه داشته باشید که در این زمینه ، روش های بوت استرپ قبلاً پیشنهاد شده است (به عنوان مثال ، گندی و کوولا (2013) ، فراز و همکاران (2015) ، صلاح ، محمود ، جونز-فریمر ، زوتسلوت و وودال (2015) و صالح ، محمود، Keefe ، and Woodall (2015)) برای یافتن محدوده کنترل تنظیم شده. اگرچه این روش فشرده رایانه در نهایت منجر به نتایج مطلوب می شود و به طور گسترده تر کاربرد دارد ، اما عبارات تحلیلی بینش بیشتری در مورد تنظیمات مورد نیاز می بخشد و به طور کلی اجرای آن آسان تر است.

انتخاب بین روش های تحلیلی و راه اندازی بستگی به این دارد که چه فرضیاتی می توان در مورد توزیع فرآیند اساسی انجام داد. در اینجا ما نرمال بودن را فرض می کنیم، زیرا این رایج ترین فرض در عمل است. علاوه بر این، از آنجایی که افزایش در پراکندگی فرآیند برای شناسایی مهم تر تلقی می شود (این نشان دهنده تخریب فرآیند است)، ما نمودار یک طرفه بالایی (که در آن آمار نمودار نمودار پراکندگی نمونه است)، معادل Epprecht و همکاران در نظر می گیریم.(2015) و حدود کنترل بالایی تنظیم شده مربوطه را استخراج کنید. این محدودیت های تعدیل شده تضمین می کنند که CFAR از حد قابل تحمل از پیش تعیین شده، تنها با احتمال کمی، برای تعداد معینی از نمونه های فاز I با اندازه معین، فراتر می رود. حدود کنترل تنظیم شده با جایگزینی ضریب حد کنترل سنتی فاز I با یک ضریب تنظیم شده به دست می آید. این ضریب حد کنترل تعدیل شده به صورت تحلیلی به دست می آید، برخلاف استفاده از رویکرد راه اندازی مانند فراز و همکاران.(2015)، و کارایی آن نیز به نوع برآوردگر مورد استفاده برای تخمین پراکندگی فرآیند تحت کنترل از داده های فاز I بستگی دارد. فرمول و مشتقات ما امکان استفاده از برآوردگرهای مختلف را برای پراکندگی فرآیند فراهم می کند. ما مفاهیم را با استفاده از یکی از برآوردگرهای شناخته شده انحراف استاندارد فاز I، یعنی جذر واریانس های ادغام شده، نشان می دهیم. همچنین توجه داشته باشید که حد کنترل تنظیم شده را می توان برای نمودارهای کنترلی بر اساس توابع افزایش دهنده یکنواخت پراکندگی فرآیند، مانند یا log() با در نظر گرفتن تابع افزایش یکنواخت مربوطه از حد تنظیم شده برای نمودار بدست آورد. علاوه بر این، چارچوب ما برای نمودارهای محدوده قابل اجرا است. همچنین به آموزش تخمین انحراف معیار نوشته واردمن (1999) مراجعه کنید.

پس از تعیین ضریب تعدیل، تأثیر استفاده از محدودیت های کنترلی تنظیم شده حاصل را بر عملکردهای خارج از کنترل نمودارها بررسی می کنیم. برای این منظور، مقایسه عملکرد بین نمودارها با محدودیت های کنترلی تنظیم شده و تنظیم نشده برای تشخیص افزایش σ انجام می شود. همانطور که قبلا ذکر شد، فراز و همکاران.(2015) همچنین مشکل تنظیم محدودیت های کنترل نمودار S و S 2 را در نظر گرفت. آنها از روش بوت استرپ گاندی و کاوالوی (2013) برای به دست آوردن ضرایب تعدیل شده استفاده کردند. با این حال، تجزیه و تحلیل عملکرد خارج از کنترل آنها به یک جفت نمودار جعبه از توزیع CARL خارج از کنترل نمودار با محدودیت های کنترلی تعدیل شده و تنظیم نشده محدود شد.

مشارکتهای ما به شرح زیر است. ما مشکل تنظیم محدودیت های کنترل را برای نمودارهای کنترل فاز II برای پراکندگی در نظر می گیریم تا حداقل عملکرد نمودار کنترل (از نظر CFAR یا CARL) با احتمال از پیش تعیین شده تضمین شود. ما یک راه حل تحلیلی ارائه می دهیم که یک محاسبه ساده از حد کنترل تنظیم شده را برای هر ترکیبی از پارامترها امکان پذیر می کند ، که شامل تعداد نمونه های مرجع موجود M ، اندازه نمونه N ، یک آستانه عملکرد مورد نظر (بعداً تعریف می شود) و یک احتمال مشخصاز این آستانه فراتر رفته است. ما جداول ضرایب تنظیم را برای طیف گسترده ای از این مقادیر پارامتر می دهیم. همچنین ، ما یک فرمول برای محاسبه کارل خارج از کنترل نمودار حاصل برای هرگونه افزایش پراکندگی فرآیند ارائه می دهیم. این به منظور ارزیابی تأثیر تعدیل در عملکرد خارج از کنترل نمودار ، با کارل خارج از کنترل برای نمودار با محدودیت های غیر قابل تنظیم مقایسه می شود. یک پزشک باید دو چیز را متعادل کند: کنترل عملکرد در کنترل در مقابل وخامت در وضعیت خارج از کنترل. ما دستورالعملهایی را در مورد چگونگی تعادل یک پزشک می تواند این تجارت را ارائه دهیم. مشتقات ما براساس نمودارهای کنترل نوع شاورت برای پراکندگی است. برای مقایسه سایر طرح های نمودار کنترل ، مانند Cusum و EWMA ، ما به Acosta-Mejia و همکاران اشاره می کنیم.(1999).

این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. ما مشتقات تحلیلی محدودیت های تنظیم شده را در بخش 2 و قدرت نمودار حاصل (احتمال اینکه نمودار در صورت افزایش پراکندگی فرآیند به یک سیگنال واقعی ارائه دهد) در بخش 3 ارائه می دهیم. و همچنین قدرت حاصل و ARL خارج از کنترل نمودار حاصل ، برای طیف جامع موارد جدول بندی شده و نتایج مورد بحث قرار می گیرد. در بخش 5 ما یک مثال عملی را به عنوان یک تصویر ارائه می دهیم و بحث می کنیم. سرانجام ، نتیجه گیری کلی در بخش 6 خلاصه می شود.

2. تعیین ضرایب تنظیم شده

فرض کنید که پس از تجزیه و تحلیل فاز I ، نمونه های M از اندازه N برای تولید تخمین از انحراف استاندارد در کنترل در دسترس هستند (σ₀) و این مشاهدات از N (μ ، σ₀) توزیع. در فاز دوم ، نمونه های اندازه N از توزیع n (μ ، σ) ، که در آن هر دو پارامتر ناشناخته فرض می شوند ، در دسترس هستند و انحراف استاندارد آنها در هر دوره زمانی بر اساس یک آمار کنترل می شود. توجه داشته باشید که σ ممکن است با مقدار کنترل σ متفاوت باشد₀بشرروش ما برای کلیه آمار نظارت (برآوردگرهای فاز دوم σ) که توزیع دقیقاً یا تقریباً متناسب با توزیع مجذور کای (جایی که تقریب بر اساس پاتنایک (1950)) است ، کار می کند. به عنوان مثال ، ما می توانیم (به عنوان مثال ، انحراف استاندارد نمونه II مرحله دوم) را بگیریم و از آنجا که مشهور است که (n-1) s 2_من/σ_من2 ∼ 2_{n - 1}دقیقاً ، این نتیجه می گیرد که (جایی که ∼ توزیع شده AS) را دقیقاً تحت توزیع عادی قرار می دهد. از طرف دیگر ، اگر در نظر بگیریم ، توزیع آن را بر اساس رویکرد پاتنایک (1950) تقریب می دهیم. ما بعداً در بخش 2. 4 در مورد این نکته توضیح می دهیم.

توجه داشته باشید که هنگام نظارت بر پراکندگی فرآیند ، به طور کلی مورد علاقه تشخیص و افزایش سیگنال است ، زیرا این شرایط حاکی از تخریب فرایند است. از این رو ، ما فقط یک حد کنترل فوقانی را مطابق با سایر تحقیقات در نظر می گیریم (به عنوان مثال ، Epprecht و همکاران (2015)).

2. 1حد کنترل غیرقابل تنظیم

توجه داشته باشید که ، همانطور که قبلاً نیز گفته شد ، می توان برآوردگرهای مختلفی را برای آن در نظر گرفت که توزیع متناسب با توزیع مجذور کای است. ما این دیدگاه کلی را در ارائه خود در نظر می گیریم. به منظور یافتن یک عبارت برای احتمال یک سیگنال ، نسبت انحراف استاندارد (3) را تعریف کنید که در آن σ جریان (فاز II) انحراف استاندارد است. وقتی فرآیند کنترل می شود ، σ = σ₀, so that γ = 1. When special causes result in an increase in the process standard deviation, σ > σ₀ and consequently γ >1. به طور مشابه ، با کاهش در انحراف استاندارد یک فرآیند ، ما γ داریم< 1. However, we do not consider this latter case here, as the meaning and usefulness of detecting decreases in the process dispersion are totally different. Of course, one may consider a lower control limit using the same methodology as in our approach to study this behavior.

در مرحله بعد ، ضریب خطا برآورد را به عنوان نسبت تعریف کنید (4)

همانطور که فرض بر این است که داده ها از توزیع عادی حاصل می شوند ، به راحتی می توان مشاهده کرد (Epprecht et al. ، 2015) که در فاز II ، احتمال مشروط یک زنگ هشدار (با اشاره به CPA) از نمودار یک طرفه بالا داده شده استتوسط (5)

CPA نمودار در معادله (5) همچنین CPA نمودار با برابر با مربع نمودار در معادله (1) است. این دو نمودار معادل هستند: یکی در صورت سیگنال های دیگر سیگنال می کند. در این مقاله ، ما از نمودار برای تصویرگری استفاده می کنیم ، اما تمام تجزیه و تحلیل ها ، نتایج عددی و نتیجه گیری به همان اندازه در نمودار اعمال می شود. در حقیقت ، این مشاهدات برای هر عملکرد افزایشی یکنواخت مانند log () ، که گاهی در عمل استفاده می شود ، نگه می دارد. به طور خلاصه ، برای هر عملکرد افزایش یکنواخت ، معادل است. بنابراین ، محدودیت های تنظیم شده ارائه شده برای نمودار می تواند با استفاده از همان تحول در مورد به دست آمده برای نمودار ، برای هر عملکرد افزایش دهنده یکنواخت استفاده شود.

CFAR نشان داده شده در معادله (6) تابعی از ضریب خطا برآورد W است و در نتیجه ، یک متغیر تصادفی است. بنابراین ، مقدار CFAR برای مقادیر مختلف W ، مربوط به مقادیر مختلف برآوردگر ، از نمونه های فاز I مختلف به دست آمده توسط پزشکان متفاوت خواهد بود. این درست است مگر اینکه w = 1 ، که در مورد برآوردگرهای مداوم در صورت تمایل به تعداد نمونه های مرجع به بی نهایت ، این مورد حاکی از مورد پارامتر شناخته شده است. توزیع نمونه محدود W به توزیع برآوردگر مورد استفاده برای σ بستگی دارد₀بشردر مورد داده های توزیع شده به طور عادی ، متداول ترین برآوردگرهای انحراف استاندارد از یک فرآیند موجود در ادبیات ، دقیقاً یا تقریباً ، توزیع مجذور کای مقیاس را دنبال می کنند. بنابراین ، در یک فرمول کلی ، ما برآوردگرها را به گونه ای در نظر می گیریم که دقیقاً یا تقریباً برای A و B مناسب. برای تمایز بین برآوردگرهای فاز I و فاز دوم ، ما از a استفاده می کنیم₀و ب₀برای فاز I و A و B برای فاز II. این فرمولاسیون اجازه می دهد تا یک درمان عمومی و جامع تر از نظارت فاز II از σ ، پوشش دهد که بیشترین برآوردگرهای متداول از انحراف استاندارد مورد استفاده را پوشش می دهد: (i) در حد کنترل فاز I و (ii) به عنوان یک آمار ترسیم در فاز II. به عنوان مثال ، یک برآوردگر متداول از σ₀در فاز اول کنترل ، ریشه مربع واریانس های مخلوط است (همچنین توسط محمود و همکاران (2010) توصیه می شود) ، تعریف شده به عنوان (7)

از آنجا که به خوبی شناخته شده است که m (n - 1) s 2_پ/σ₀2 به دنبال توزیع مجذور کای با درجه M (N-1) از آزادی ، دقیقاً از آن پیروی می کند ، جایی که a₀= 1 و ب₀= M (n - 1). آمار توطئه برای نمودار فاز دوم انحراف استاندارد نمونه است و از آنجا که به خوبی شناخته شده است که (n - 1) s 2_من/σ 2 ∼ χ_{n - 1}2 ، به این نتیجه می رسد که ، دقیقاً ، جایی که a = 1 و b = n - 1. سایر برآوردگرهای فاز I از σ₀مانند کجا و ج₄یک ثابت بی طرفانه است (به مونتگومری (2013) مراجعه کنید) می توان در نظر گرفت ، اما ما این را در اینجا دنبال نمی کنیم و از برآوردگر استفاده می کنیم_pبرای تصویرگری در طول این مقاله. در ادامه توجه داشته باشید که سایر آمار و نمودارهای نظارت ، مانند نمودار R نیز می توانند در این چارچوب در نظر گرفته شوند. بعداً در بخش 2. 3 در مورد این نکات اظهار نظر می کنیم.

همانطور که در Epprecht و همکاران.(2015) ، CDF از CFAR (مشخص شده به عنوان f_کربن) از نمودار یک طرفه فوقانی با معادلات سنتی (1) و (2) ، که برای α اسمی دور شده است ، می تواند برابر باشد (8)

معادله (8) بنابراین به این معنی است که CDF CFAR نیز به توزیع این برآوردگر بستگی دارد.

Epprecht و همکاران.(2015) همچنین نشان داد که CFAR احتمال غیر قابل بحث و تبادل نظر بسیار بزرگتر از مقدار اسمی مشخص شده α دارد ، مگر اینکه تعداد نمونه های فاز I به طرز ممیزی بالا باشد. با انگیزه از این مشاهده ، و با یک دیدگاه عملی ، ما حد کنترل تنظیم شده را به منظور تضمین حداقل عملکرد بر اساس CFAR با احتمال مشخص ، برای مقادیر داده شده M و n به دست می آوریم.

2. 2حد کنترل تنظیم شده

ما علاقه مند به یافتن تنظیم با UCL سنتی در معادله (1) هستیم ، به گونه ای که احتمال اینکه CFAR از یک محدوده بالایی قابل تحمل باشد (α_{به من}) با یک مقدار کوچک p کنترل می شود. به طور رسمی ، ما می خواهیم ضریب تنظیم شده L * را برای محاسبه حد کنترل بالایی فاز I تعیین کنیم تا (9) که در آن (10)

معادله (9) نیاز به توضیح کمی دارد. فرمولاسیون در معادله (9) ، معرفی شده در Epprecht و همکاران.(2015) ، برآورد پارامتر و تنوع پزشک به تمرین کننده را در کار با توزیع متغیر تصادفی CFAR تشخیص می دهد. ضریب تنظیم شده L * که معادله (9) را حل می کند ، تضمین می کند که CFAR بزرگتر از مقدار مشخص شده α است_{به من}با احتمال ص. توجه داشته باشید که α_{به من}بنابراین به عنوان یک محدوده پایین به CFAR که در آن ϵ (0 ⩽ ⩽< 1) is introduced to determine an appropriate value for α_{به من}بشرمقدار اسمی سنتی α برای ϵ = 0 به دست می آید. بنابراین ، پزشکان می توانند ϵ خود را انتخاب کنند - برای مثال ، 0. 10 (10 ٪) یا 0. 20 (20 ٪) - برای تعیین حداقل آستانه عملکرد مناسب α_{به من}، به منظور آرامش مطالبات مربوط به عملکرد در کنترل. بنابراین ، به عنوان مثال ، اگر α = 0. 005 و یکی ϵ = 0. 10 را انتخاب کند ، ما α را بدست می آوریم_{به من}= 0. 0055. توجه داشته باشید که معادله (9) را می توان به عنوان P (CFAR (T ، L *) ⩽ α بازنویسی کرد_{به من}) = F_کربن (α_{به من}؛l *) = 1 - p ، به طوری که فاصله [0 ، α_{به من}] را می توان به عنوان یک فاصله پیش بینی 100 (1 - P) برای CFAR تفسیر کرد. این تفسیر ممکن است در درک بهتر فرمول پیشنهادی کمک کند.

همچنین توجه داشته باشید که معادله (9) معادل نوشتن P (کارل است_{تحت کنترل} < 1/α_{به من}) = ص. بنابراین ، حل معادله (9) معادل پیدا کردن L * است که حداقل کارل کنترل را با کارل تضمین می کند_{به من}= 1/α_{به من}، حداقل آستانه عملکرد کارل در کنترل ، با احتمال مشخص 1-p. با توجه به این هم ارزی ، مشتقات بعدی ما مبتنی بر CFAR است. توجه داشته باشید که فاصله [1/α_{به من}، ∞) را می توان به عنوان یک فاصله پیش بینی 100 (1 - P) برای کارل تفسیر کرد_{تحت کنترل}.

به منظور تعیین L * از معادله (9) ، به CDF CFAR نیاز داریم. مشابه معادله (5) ، ما می توانیم CFAR را هنگام استفاده از محدودیت های تنظیم شده به عنوان (11) بنویسیم

بنابراین ، CDF ، مشابه معادله (8) ، برای 0 به دست می آید< t < 1 as (12)

از آنجا که ما این را به طور کلی فرض می کنیم.

اکنون l * به گونه ای تعیین شده است که (13)

از این رو ، با استفاده از معادله (12) ، ما (14) را بدست می آوریم که منجر به راه حل کلی می شود (15)

ما تأکید می کنیم که معادله (15) یک عبارت کلی برای ضریب محدودیت کنترل تنظیم شده است که می تواند با هر برآوردگر فاز I اعمال شود که برای آن و برای آن آمار نظارت فاز II را برآورده می کند. توجه داشته باشید که ، اگر کسی به تصحیح معادل آن علاقه مند باشد ، تنها تغییرات مورد نیاز جایگزینی α است_{به من}برای 1 - α_{به من}و 1 - P برای P در معادله (15).

2. 3استفاده از برآوردگرهای مختلف در فاز دوم

تاکنون ما برآوردگرهای فاز I و فاز II را به ترتیب در نظر گرفته ایم. با این حال ، استفاده از طیف گسترده ای از برآوردگرها در هر دو فاز I و فاز II امکان پذیر است. به عنوان مثال ، استفاده از انحراف استاندارد مخلوط شده در فاز I و انحراف استاندارد در فاز II را در نظر بگیرید. ما پس از آن₀= 1 ، ب₀= m (n - 1) ، a = 1 و b = n - 1. اجرای این مقادیر در معادله (15) سپس حد کنترل لازم را برای این مورد خاص به ما می دهد (16)

توجه داشته باشید که این مورد خاص برابر با نتیجه Tietjen و Johnson (1979) است که فواصل تحمل را برای این مثال خاص تعیین می کنند. با این حال ، رویکرد ما به طور کلی کاربرد دارد ، زیرا ما به طیف گسترده ای از برآوردگرها در فاز I و فاز II اجازه می دهیم. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد برآوردگرهای پراکندگی ، ما به Vardeman (1999) مراجعه می کنیم.

برای نشان دادن برنامه و پیامدهای اجرای محدودیت های کنترل تنظیم شده ، شکل 1 ، شکل 2 شکل 1 و 2 جعبه های 1000 مقادیر کارل شبیه سازی شده را برای کنترل (γ = 1) و یک کنترل خارج از کشور نشان می دهد (γ =1. 5) وضعیت ، به ترتیب ، با m = 50 ، n = 5 ، α = 0. 005 ، ϵ = 0. 1 و p = 0. 1 ، به طوری که α_{به من}= 0. 0055. ما از S استفاده کرده ایم_pبه عنوان برآوردگر انحراف استاندارد فاز I و S به عنوان برآوردگر در فاز II. در وضعیت کنترل (شکل 1) ، کارل_{به من}= 1/α_{به من}= 1/0. 0055 = 182. برای اهداف مقایسه ، جعبه ها همچنین نتایج استفاده از روش bootstrap Gandy و Kvaløy (2013) و Faraz و همکاران را نشان می دهند.(2015) و از نمودار با محدودیت های غیرقابل تنظیم. حداقل کارل تحمل شده 182 با یک خط متراکم عمودی نشان داده شده است ، و مقدار p- توزیع کارل در هر جعبه با یک خط عمودی کوتاه اضافه شده نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می شود ، P- Quantile با کارل همزمان است_{به من}= 182 برای محدودیت های کنترل تنظیم شده. توجه داشته باشید که تفاوت بین روش پیشنهادی و رویکرد bootstrap ناچیز است. با این حال ، محدودیت های کنترل پیشنهادی عبارات تحلیلی هستند که اجرای آن آسان تر است و تنظیمات مورد نیاز مستقیماً با استفاده از تئوری توزیع آماری یافت می شود. برای بینش بیشتر در مورد تأثیر گزینه های ϵ و P ، شکل 3 و 4 به ترتیب معادل شکل 1 و 2 نشان می دهد ، به ترتیب ، این اثر برای ϵ = 0 و P = 0. 05. در آنجا P- Quantile با کارل همزمان است_{به من}= 200