فرمول ضریب همبستگی: توضیح و سوال حل شده

فرمول ضریب همبستگی در آمار برای اندازه گیری ریاضی رابطه بین دو متغیر استفاده می شود. ضریب همبستگی را می توان با فرمول های مختلف محاسبه کرد ، که متداول ترین آن همبستگی پیرسون برای رگرسیون خطی است. فرمول های ضریب همبستگی دیگر شامل فرمول ضریب همبستگی خطی ، فرمول ضریب همبستگی نمونه و فرمول ضریب همبستگی جمعیت است.

در این مقاله ، ما در مورد فرمول ضریب همبستگی بحث خواهیم کرد و نمونه هایی را بر اساس ضریب همبستگی حل خواهیم کرد.

فهرست مطالب

1. ضریب همبستگی چیست؟
2. فرمول ضریب همبستگی پیرسون
3. فرمول ضریب همبستگی نمونه
4. فرمول ضریب همبستگی جمعیت
5. رابطه بین کواریانس و ضریب همبستگی
6. چیز هایی برای به یاد آوردن
7. نمونه سوالات نمونه

کلیدهای کلیدی: همبستگی ، ضریب ، آمار ، همبستگی خطی ، همبستگی نمونه ، همبستگی جمعیت ، رگرسیون خطی ، متغیرها

ضریب همبستگی چیست؟

ضریب همبستگی ایده کلی در مورد رابطه بین دو متغیر به ما می دهد ، خواه با یکدیگر ارتباط داشته باشند یا نه. همانطور که در بخش های بعدی به فرمول ضریب همبستگی می پردازیم ، متوجه می شوید که مقدار برگشتی برای ضریب همبستگی همیشه بی ن-1 تا 1 است.

برای یادگیری فرمول های دیگر آمار اینجا را کلیک کنید.

•  هنگامی که دو مقدار مورد نظر با یکدیگر همبستگی مثبت دارند. به عبارت دیگر ، با افزایش مقدار یک متغیر ، مقدار متغیر دیگر نیز افزایش می یابد.
• در حالی که ، ضریب همبستگی منفی (r< 0) shows that the two values in question are negatively 
• هنگامی که ضریب همبستگی برابر با صفر است (R = 0) ، نشان می دهد که متغیرها به هیچ وجه با یکدیگر ارتباط ندارند.

نمودار نشان دادن مثبت ، منفی و بدون همبستگی

فرمول ضریب همبستگی پیرسون

ضریب همبستگی پیرسون رایج ترین فرمول ضریب همبستگی است. مقدار ضریب همبستگی توسط "R" مشخص شده است که بی ن-1 تا 1+ نهفته است.

فرمول ضریب همبستگی پیرسون همچنین به عنوان فرمول ضریب همبستگی خطی شناخته می شود.

فرمول ضریب همبستگی پیرسون -

n = مقدار اطلاعات

σx = مقدار مقادیر x

σy = مجموع مقادیر y

σxy = مبلغ محصول مقدار اول و دوم

σx 2 = جمع مربع های مقدار اول

σy 2 = جمع مربع های مقدار دوم

فرمول ضریب همبستگی نمونه

فرمول ضریب همبستگی نمونه در زیر آورده شده است -

S_x= نمونه انحراف استاندارد x

S_y= نمونه انحراف استاندارد y

S_xy= نمونه کواریانس

فرمول ضریب همبستگی جمعیت

ضریب همبستگی جمعیت توسط ρ (RHO) مشخص می شود. فرمول ضریب همبستگی جمعیت -

σ_xو ρ_y= انحراف استاندارد جمعیت

σ_xy= کواریانس جمعیت

رابطه بین فرمول ضریب همبستگی و همبستگی

هم کوواریانس و هم ضریب همبستگی روش هایی برای اندازه گیری رابطه بین دو متغیر هستند. رابطه بین همبستگی و کواریانس در زیر آورده شده است:

σ_xو σ_y= انحراف استاندارد x و y به ترتیب

در اینجا درباره واریانس و کواریانس بیشتر بدانید.

چیز هایی برای به یاد آوردن

• ضریب همبستگی به طور معمول برای اندازه گیری رابطه بین دو متغیر استفاده می شود.
• فرمول ضریب همبستگی متداول ، فرمول ضریب همبستگی پیرسون است که به عنوان ضریب همبستگی خطی نیز شناخته می شود. دو فرمول دیگر ضریب همبستگی نمونه و ضریب همبستگی جمعیت است.
• مقدار ضریب همبستگی بین 1 تا 1 است. مقدار مثبت ضریب همبستگی نشان می دهد که دو متغیر همبستگی مثبت دارند در حالی که ، مقدار منفی ضریب همبستگی نشان می دهد که متغیرها با همبستگی منفی دارند.
• هنگامی که ضریب همبستگی برابر با صفر است ، نشان می دهد که این دو متغیر با یکدیگر ارتباط ندارند.
• ضریب همبستگی پیرسون توسط

• فرمول ضریب همبستگی نمونه توسط

• فرمول ضریب همبستگی جمعیت -

• رابطه بین همبستگی و کواریانس در زیر آورده شده است:

سوالات حل شده

سؤالات 1. ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید. x = 4 ، 8 ، 12 ، 16 و y = 5 ، 10 ، 15 ، 20. (5 علامت)

جوابمتغیرهای داده شده هستند ،

x = 4 ، 8 ، 12 ، 16 و y = 5 ، 10 ، 15 ، 20

جدول برای مقادیر مورد نیاز.

با توجه به فرمول همبستگی پیرسون ما ،

r (xy) = [(600 4 4) - (50 40 40)] / [√4 (480) −40 2 √4 (750) −50 2]

یا ، r (xy) = (2400-2000) / [√ (1920 - 1920) x √ (3000 - 2500)]

یا ، r (xy) = 400 / √320-500

یا ، r (xy) = 400 / 17. 89 × 22. 36

یا ، r (xy) = 400/400 = 1

بنابراین ، r (xy) = 1

سؤال 2: مقدار ضریب همبستگی را از داده های ذکر شده در جدول زیر پیدا کنید: (5 علامت)

جواببرای محاسبه ضریب همبستگی داده های داده شده در جدول ، ما باید یک جدول را با مقادیری که باید در فرمول ضریب همبستگی قرار دهیم ، بسازیم:

بنابراین ، از جدول ما ،

• n = 6
• σx = 247
• σy = 486
• σxy = 20،485
• σx 2 = 11،409
• σy 2 = 40،022

بنابراین ، r (xy) = 6 (20،485) - (247 × 486) / [√ [[6 (11،409) - (247 2)] × [6 (40،022) - 486 2]]]]

یا ، = 2868 / 5413. 36

سؤال 3. ضریب همبستگی مجموعه ای از داده ها 0. 8 است. انحراف استاندارد مجموعه داده X (σ_x) = 1 ، و انحراف استاندارد مجموعه داده y (σ_y) = 1. 4. کواریانس داده ها را پیدا کنید.(4 علامت)

جوابرابطه بین همبستگی و کواریانس توسط -

مقادیر ارائه شده در سوال عبارتند از:

بنابراین ، COV (x ، y) = 0. 8 x 1 x 1. 4

سؤالات 4. ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید. x = 4 ، 10 ، 11 ، 15 و y = 5 ، 9 ، 13 ، 14. (5 علامت)

جوابمتغیرهای داده شده هستند ،

x = 4 ، 10 ، 11 ، 15 و y = 5 ، 9 ، 13 ، 14.

جدول برای مقادیر مورد نیاز.

قرار دادن مقادیر در فرمول ضریب همبستگی ،

یا ، r = [(4 x 613) - (40 x 41)] / [√ (4 x 46 2 - 40 2) (4 x 851 - 41 2)]

یا ، r = 812 /248 x 1723

یا ، r = 812 /427304

سؤالات 5. اهمیت ضریب همبستگی چیست؟(5 علامت)

جوابضریب همبستگی به ما می گوید که چگونه دو متغیر تحت مشاهده با یکدیگر ارتباط دارند. ضریب همبستگی پیرسون یکی از رایج ترین ضرایب همبستگی است. مقدار ضریب همبستگی بی ن-1 تا 1 +نهفته است.

هنگامی که مقدار ضریب همبستگی نزدیک ب ه-1 است ، گفته می شود که دو متغیر همبستگی منفی دارند. معنی با افزایش مقدار یک متغیر ، مقدار متغیر دوم کاهش می یابد.

ضریب همبستگی برابر با صفر یا نزدیک صفر به این معنی است که متغیرها با همبستگی یا ضعف همبستگی ندارند.

مقدار ضریب همبستگی نزدیک 1 نشان می دهد که متغیرها با همبستگی مثبت دارند. به این معنی که آنها به طور مستقیم با یکدیگر متناسب هستند.

سؤالات 6. ارزش R بین-0. 2 تا + 0. 2 نشان می دهد؟(5 علامت)

جوابمقدار ضریب همبستگی در نزدیکی 0 دلالت بر این دارد که مقادیر بسیار ضعیف با یکدیگر ارتباط دارند. هنگامی که یک مجموعه داده R را در محدود ه-0. 2 تا +0. 2 می دهد ، نشان می دهد که آنها با یکدیگر ضعیف هستند.

ضریب همبستگ ی-0. 8 و 0. 8 نشان می دهد که متغیرهای وابسته و مستقل به شدت با یکدیگر ارتباط دارند.

همچنین بخوانید:

سوالات مرتبط با کلاس XII

2 ، B ، C در A. P. و دامنه تعیین کننده $ شروع می شود1 & 1 & 1 \ 2 & b & c \ 4 & b^& c^ end$ [2 ، 16] است. سپس دامنه C را پیدا کنید