بهره ساده و مرکب

نمونه نرخ بهره برای حساب پس انداز در بانک

بیایید با نگاه کردن به سود ساده شروع کنیم، و سپس ببینیم که چگونه بانک ها این ایده را به تجارت روزمره تعمیم می دهند. اول، سرمایه گذاری یک مقدار اصلی پول P در یک بانک با نرخ بهره ساده r به چه معناست؟مشتریان بانک به بانک اجازه می دهند از پول آنها برای مدتی استفاده کند و در ازای آن بانک مایل است مبلغ اصلی آنها را در پایان دوره به اضافه پول اضافی به نام بهره برگرداند. مقدار پول اضافی به نرخ سودی که بانک می پردازد و مدت زمان بستگی دارد.

اگر خانم هملیش 200 دلار در ابتدای سال با نرخ بهره 12 درصد به حساب پس انداز بگذارد، در پایان سال حساب او 200 دلار به اضافه سودی که به دست آورده است خواهد داشت. این بهره 12٪ از 200 دلار است، یا از فرمول سود ساده I = Prt، I = (0. 12) 200 = 24 است.

در پایان سال او 200 دلار + 24 دلار = 224 دلار در حساب بانکی خود خواهد داشت.

فرمول سود ساده اگر مبلغ اصلی P با نرخ بهره r برای t سال سرمایه گذاری شود، آنگاه سود ساده به دست آمده I = Prt خواهد بود.

می توانیم از فرمول بهره ساده برای یافتن فرمولی برای مقدار پول A استفاده کنیم که بعد از t سال در یک حساب بهره ساده خواهد بود. مقدار A اصل اصلی P به اضافه بهره ای است که در طول دوره زمانی t به دست آورده ام.

A = P + I = P + Prt

برای ساده کردن فرمول، P را از عبارت سمت راست فاکتور کنید تا A = P + Prt = P (1 + rt) به دست آید.

مثال 1: آقای لابلان 500 دلار با نرخ بهره ساده 6 درصد سرمایه گذاری می کند. او در یک ماه چقدر سود خواهد داشت؟در شش ماه؟در یک سال؟

راه حل: سود سالیانه ای که او به دست می آورد، 6 درصد اصل اصلی اوست اگر یک سال پولش را در بانک بگذارد. این در حالی است که او در یک ماه تنها 12/1 این مبلغ را به دست خواهد آورد.

سود کسب شده در یک ماه I = (500) (0. 06) (1/12) = 2. 50 دلار است.

به طور مشابه، در 6 ماه، بهره ای که او به دست می آورد I = (500) (0. 06) (6/12) = 15 دلار است.

در یک سال سودی که او به دست خواهد آورد I = (500) (0. 06) (1) = 30 دلار است. سه مقدار سود را با هم مقایسه کنید تا ببینید آیا آنها معقول هستند یا خیر.

مثال 2: اگر یک اصل P را با نرخ بهره r مرکب ماهانه سرمایه گذاری کنید، P در یک دوره چقدر سود خواهد داشت؟

راه حل: هر دوره یک ماه است، بنابراین طول زمان برای یک دوره 1/12 سال است. سود کسب شده برای یک دوره I = P × r × (1/12) خواهد بود. این همان چیزی است که در مثال 1 یافتیم.

به طور کلی ، اگر دوره M در یک سال وجود داشته باشد ، مدت زمان برای هر دوره (1/متر) یک سال خواهد بود. بهره به دست آمده در یک دوره I = P (R/M) خواهد بود.

نرخ بهره دوره ای ، بنابراین ، R/M است. ما می توانیم به من اجازه دهیم که من مقدار بهره دوره ای و i = r/m باشم. بنابراین بهره به دست آمده در یک دوره i = pi است. این بدان معناست که میزان پول در یک حساب کاربری بهره در پایان یک دوره P + PI است. این دقیقاً مانند فرمول بهره ساده به جز نرخ بهره R با نرخ بهره دوره ای I = R/M جایگزین می شود.

اگر یک حساب در هر شش ماه یکبار بهره را بدست آورد ، نرخ بهره دوره ای در هر دوره شش ماهه I = 12 ٪/2 = 6 ٪ است. اگر حساب سه ماهه یا چهار بار در سال به دست آورد ، نرخ بهره دوره ای I = 12 ٪/4 = 3 ٪ است. بسیاری از حساب ها هر ماه سود کسب می کنند ، بنابراین من = r/12.

مثال 3: فرض کنید ماهانه 100 دلار در 12 ٪ در سال جمع می کنیم. بعد از سه ماه چقدر در حساب خواهد بود؟در پایان ماه T فرمولی برای مبلغ موجود در حساب پیدا کنید.

راه حل: بیایید لیستی از مبلغ پول موجود در حساب شما را در پایان هر یک از 3 ماه اول تهیه کنیم. از آنجا که یک ماه 1/12 سال است ، نرخ بهره برای یک ماه I = 0. 12/12 = 0. 01 است. مبلغ موجود در حساب بعد از یک ماه 100 + (01) (100) = 100 + 1 = 101 خواهد بود.

اجازه دهید A (t) = مقدار در حساب در پایان ماه t باشد. بنابراین ، A (0) = 100 = P = مقدار در حساب در ابتدای ماه اول A (1) = P + PR = P (1 + I) = P (1. 01) = مقدار در حساب در پایان ماه اول

توجه کنید که ما P را از مبلغ تولید کننده فاکتور (1 + I) فاکتور می کنیم. با محاسبه دو ماه آینده ، می گیریم

a (2) = a (1) + a (1) i = a (1) (1 + i) = [p (1 + i)] (1 + i) = p (1 + i) ² = p (1. 01) ² a (3) = a (2) + a (2) i = a (2) (1 + i) = [p (1 + i) ²] (1 + i) = p (1 + i)³ = P (1. 01)

مشکل 1

مبلغ کل پولی را که آقای لابلانک در حساب خود از مثال 1 خواهد داشت محاسبه کنید.

این دو روش را انجام دهید:

1. مبلغ سود به دست آمده را به مبلغ اولیه اضافه کنید. این مبلغ کل حساب پس از هر دوره زمانی است.

2. کار خود را با استفاده از فرمول بهره ساده برای مقدار بررسی کنید.

بیشتر حساب ها بیش از یک دوره بهره در سال تعیین می کنند. به این ترکیب گفته می شود. موسسات مالی سال را به تعداد مشخصی از دوره ها تقسیم می کنند و بعد از هر دوره علاقه ساده ای را به یک حساب اضافه می کنند.

الگوی مثال 2 و 3 در بالا با نرخ های بهره متفاوت کار می کند. ایده کلیدی این است که برای هر دوره ای که می گذرد، مبلغ در پایان دوره برابر است با مقدار ابتدای همان دوره ضرب در (1 + i) که منجر به فرمول بهره مرکب می شود.

فرمول بهره مرکب

اگر یک اصل اولیه P با نرخ بهره r مرکب m بار در سال سرمایه گذاری شود، آنگاه مبلغ در حساب پس از n دوره A(n) = P(1 +i)^n است که i = r/m برابر است بابهره ای که هر سال به دست می آید

مثال 4: سالی 1000 دلار با بهره ساده 12 درصد به مدت سه سال سرمایه گذاری می کند. A 1000 دلار با نرخ 12% ترکیبی ماهانه به مدت سه سال سرمایه گذاری می کند.

سالی بعد از سه سال چقدر پول خواهد داشت؟

مقداری که سالی خواهد داشت A = 1000 (1 + 0. 12 ∗ 3) = 1360 دلار است.

آن چه مقدار پول خواهد داشت؟

ابتدا نرخ بهره دوره ای را پیدا کنید: i = 0. 12/12 = 0. 01. دوم، تعداد دوره ها را در سه سال بیابید. چون m = 12، 12 دوره در سال وجود دارد. در سه سال، 36 دوره وجود دارد. در نهایت، از فرمول بهره مرکب برای یافتن مقدار A با استفاده از یک ماشین حساب استفاده کنید: A = 1000(1 + 0. 12/12)^36 = 1430. 77 دلار.

آیا به هیچ وجه از نتایج شگفت زده شده اید؟

A بعد از 3 سال 1430. 77 − 1360 = 70. 77 دلار بیشتر از سالی خواهد داشت.

اگر زمان سرمایه گذاری ده سال بود، میزان تفاوت چقدر خواهد بود؟

با انجام این محاسبات به مدت ده سال، سالی A = 1000 (1 + 0. 12 × 10) = 2200 دلار خواهد داشت. A دارای A = 1000 (1 + 0. 01)^120 = 3300. 39 دلار خواهد بود. بنابراین پس از ده سال، آن 1100. 39 دلار بیشتر از سالی خواهد داشت.

مشکل 2

فرض کنید ما 1000 دلار با 12 درصد در سال به صورت ماهانه واریز می کنیم. بعد از شش ماه چقدر در حساب خواهد بود؟فرمولی برای مبلغ موجود در حساب در پایان t ماه پیدا کنید. تابع را با استفاده از ماشین حساب نموداری خود ترسیم کنید. با استفاده از نمودار، تخمین بزنید که چند ماه طول می کشد تا 1100 دلار داشته باشید.

راه حل

ما از فرمول بهره مرکب A(n) = P(1 + i)^n استفاده می کنیم. در اینجا i = r/m = 0. 12/12، و n = 6 زیرا هر ماه یک دوره است. بنابراین A(6) = 1000(1 + 0. 12/12)^6 = 1061. 52. بنابراین پس از شش ماه 1061. 52 دلار در حساب شما وجود خواهد داشت.

فرمول مبلغ موجود در حساب در پایان t ماه A(t) = 1000(1 + 0. 12/12)^t است. نمودار این تابع در زیر رسم شده است. با استفاده از نمودار می بینیم که حدود 10 ماه طول می کشد تا حساب به 1100 دلار برسد.